非球面的應(yīng)用能夠顯著提升光學系統(tǒng)的光學性簡化光學系統(tǒng)結(jié)構(gòu),非球面的鏡面拋光機也越來越受者的重視.但由于非球面自身的對稱性與球面別,使其不能夠適用傳統(tǒng)的球面加工原理進行.現(xiàn)對于回轉(zhuǎn)對稱的二次曲面加工法一般使用母線銑磨加工法或者用線接觸加工方法.本文根據(jù)某文獻建立的基于橢圓路徑的銑磨過差模型,結(jié)合誤差測量和評估技術(shù),加工后通過型將誤差項辨識出來,然后在下次加工中予以以提高加工精度.同時,鑒于誤差傳遞函數(shù)的性,本文分析了合并,分開辨識相似誤差所引入差,以此得到處理相似誤差的策略,提高算法的
1誤差辨識策略
若實際面形誤差測量和評估過程中與誤差模型建立所采用的誤差準則是一致的,則在一定的精度范圍內(nèi),由誤差模型在某組誤差向量下仿真出的面形誤差εs與最終工件面形測量評估后所得面形誤差εc之間存在等價關(guān)系:εc=εs+υ(1)
其中υ為兩者之間的差異,認為是噪聲.通常,由于各誤差因素與最終面形之間存在復(fù)雜的非線性關(guān)系,式(1)為以非線性方程,利用式(1)通過某種辨識算法可以將各誤差項辨識出來.這里進行誤差辨識,相當于把鏡面拋光機加工過程和機床看成一個多輸入單輸出的誤差形成系統(tǒng),其輸入是各誤差因素,輸出是加工工件的面形誤差.引入誤差辨識,反饋再加工后非球面銑磨加工流程[3]如下:
圖1誤差辨識,補償流程圖
2誤差辨識線性模型
基于橢圓路徑的二次曲面銑磨誤差模型[5]給出了各項誤差因素與最終面形誤差之間的線性關(guān)系,從而將式(1)簡化為一線性方程,可以利用現(xiàn)有的線性系統(tǒng)辨識算法辨識出各誤差因素.同時,我們應(yīng)該注意到,某些誤差因素對最終面形誤差的傳遞函數(shù)之間存在相似性[8],這會對誤差辨識的精度產(chǎn)生影響,本文也對此進行相關(guān)分析,并提出解決方法.
2.1線性模型辨識算法
利用最小二乘準則建立的基于橢圓路徑銑磨誤差模型給出了各誤差項對實際面形影響的一階線性近似為:εs=ζTδ(2) 其中:
δ=[δtδyrδfδα_tδα_yrδα_f gp]T為誤差向量,這里我們稱ζ為誤差傳遞函數(shù)矩陣,其各項稱為對應(yīng)誤差的傳遞函數(shù),其中r為回轉(zhuǎn)半徑.測量評估出加工工件的面形誤差εc(r)后可用最小二乘準則對上式中的誤差矢量進行辨識,最小二乘法辨識要求極小化下列準則函數(shù):
其中積分路徑s是曲面測量評估的弧段.要使式(4)取極小值,根據(jù)微積分相關(guān)理論必有下式成立:
從而:
實際上面形的測量數(shù)據(jù)都是離散的,故要將式(6)誤差辨識結(jié)果進行離散化,結(jié)果如式(7):
δ=(ETE)-1ETε (7)
其中:
ε=[ε(r1)ε(r2)Lε(rn)]T
E=[ζ(r1)ζ(r2)Lζ(rn)]T (8)
2.2相似項處理方法
若式(6)中誤差傳遞函數(shù)向量有兩個函數(shù)近似成比例的時候,A就可能為病態(tài)矩陣,其條件數(shù)將很大,從而逆矩陣就可能不存在或求解的精度很低,影響辨識精度.下面對這一情形進行具體研究.用函數(shù)相關(guān)系數(shù)來衡量由合并估計相關(guān)性很大的誤差項而引入的辨識系統(tǒng)誤差,不合并估計相關(guān)性很大的誤差項由計算和測量噪聲引入的辨識隨機誤差.以下的分析中設(shè)ζ(x)=[f1(v)f2(x)]T,函數(shù)fi(x)(i=1,2)為定義在[a b]上的兩平方可積函數(shù),兩函數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)用γ表示,兩項誤差的幅值為δ=[δ1δ2]T.①合并相似項估計可能引入的誤差當誤差傳遞函數(shù)之間的相似性很大的時候,采取的策略是僅辨識誤差傳遞函數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)較接近于零的幾項誤差,而對于誤差傳遞函數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)接近于1或接近于-1的誤差僅辨識其中一項,也就是將由這幾個誤差引起的誤差之和看作是由其中一項誤差引起的誤差,這樣就能夠避免出項病態(tài)的情形.但由于傳遞函數(shù)不可能完全一致,合并估計必然帶來誤差,這里以兩個相似函數(shù)為例來研究合并估計引入的誤差.根據(jù)泛函分析相關(guān)理論[9],以f1(x)最佳平方接近f2(x),然后僅以f1(x)來辨識,由此引入的誤差為:
式(9)表明,合并相似項引入的誤差與誤差項的幅值成正比,且隨兩者之間的相似性的提高而減小.②不合并相似項估計可能引入的誤差若兩函數(shù)近似成線性時仍然將他們分開估計,這可能會引入病態(tài)矩陣,從而會引入三個方面的誤差:病態(tài)矩陣求逆誤差;誤差函數(shù)的不準確會引入辨識結(jié)果偏差;由于條件數(shù)比較大,噪聲信號對誤差辨識的結(jié)果影響就會增大.可以用高精度的算法求解式(6)來減小第一種誤差.另外二種誤差屬于系統(tǒng)誤差,不可能用高精度算法來減小,下面分析后兩種誤差與函數(shù)相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系.由矩陣理論[10]可估計出:
數(shù)值計算相關(guān)結(jié)論表明,用式(6)進行辨識時由于病態(tài)矩陣的存在,系數(shù)矩陣存在的誤差所導致辨識結(jié)果的相對誤差上限[9]為:
將式(10)代入式(11),可得:
式(12)表明,當‖A-1‖‖δA‖<<1時,矩陣A的相對誤差可能會被放大(1-γ2)-1倍后引入辨識結(jié)果中去.同時εc由中所含的誤差υ引入的辨識結(jié)果的相對誤差上限[9]為:
將式(10)代入式(13),可得:
式(12)表明,面形誤差測量的相對誤差可能會被放大(1-γ2)-1倍后引入辨識結(jié)果中去.式(12)和式(14)表明,分開相似項引入的誤差隨兩者之間的相似性的提高而增大.③處理方法在實際辨識中出現(xiàn)此種情形,先根據(jù)式(9),式(12)和式(14)估計出辨識誤差,然后判斷是合并估計還是分開估計.一般來講當相關(guān)系數(shù)不是太大時,在初始的幾步加工中,由于面形測量信號的信噪比比較大,可以分開辨識,但由于噪聲總是存在的,估計誤差總是存在的,故不將辨識出的誤差全部補償.當加工出的工件面形已經(jīng)比較好時,信噪比降低,這時進行合并估計,同樣也不將辨識出的誤差全部補償.這樣做與實際情況也較為符合,剛開始加工時各項誤差都比較大,如對刀誤差,刀具半徑誤差等,故分開辨識以盡可能地補償各項誤差,但加工的最后幾步,各項誤差都已比較小,此時分開辨識比較適宜.
3實驗研究
由于點接觸加工方式與一般的用機床走母線的加工方式很接近,故而這里在普通機床做誤差辨識和補償試驗.試驗加工的對象方程為:加工的工件為:t2+yr2-790f=0,口徑為212mm.加工角度為-60°.實驗采用實驗室自研的光學非球面復(fù)合加工機床[7]機床具有X,Y,Z,A,C五軸數(shù)控聯(lián)動功能,在全行程內(nèi),鏡面拋光機的綜合精度達到3μm.各誤差項的傳遞函數(shù)如圖2所示.沿回轉(zhuǎn)軸平動誤差和繞回轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動誤差的誤差傳遞函數(shù)fδf(r)和fδα_f(r)為零,表明了此兩項誤差對最終面形的影響是誤差的二階小量以上,此處忽略不計.
(a)δt的誤差傳遞函數(shù) (b)δyr的誤差傳遞函數(shù)
各誤差的傳遞函數(shù)明顯分成兩類:沿t軸線性誤差對工件誤差的傳遞函數(shù)ft(r),繞yr軸誤差對工件誤差的傳遞函數(shù)fα_δyr(r)和刀具半徑誤差對工件誤差的傳遞函數(shù)fgp(r)近拋物線,沿yr軸線性誤差對工件誤差的傳遞函數(shù)fδyr(r)和繞t軸誤差對工件誤差的傳遞函數(shù)fδα_t(r)近線性.各類函數(shù)內(nèi)的相關(guān)函數(shù)為:
由于兩類函數(shù)內(nèi)的相關(guān)系數(shù)都為1,從而只能以兩類函數(shù)中的一個函數(shù)來辨識,根據(jù)式(59)這樣做不會引入誤差.從而在實驗中可以僅選取兩類函數(shù)中的一個進行辨識,這里根據(jù)實際情況選取δyr和gp進行辨識.兩類函數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)為γ(δy,gp)=0.9684,幾乎接近于1.這里采用第三節(jié)中的策略.在初始面形誤差比較大時分開估計,補償gp和δyr,當面形精度較高時采用合并估計的方法,選取δyr作為估計補償對象.同時,在補償?shù)臅r候不是將辨識出的誤差值全部補償?shù)?而是僅僅補償30%～50%.圖3是各次加工補償后的面形誤差圖.圖的橫坐標是工件的回轉(zhuǎn)半徑,單位為mm,圖的縱坐標是面形誤差,單位為mm.如圖3,第1次加工所得面形的RMS值為13.1μm,采用雙項辨識,辨識出δy=-0.1716mm,δgp=-0.0109mm,補償辨識所得誤差的50%后再進行加工后結(jié)果如圖3(b).第2次加工所得面形的RMS值為8.8μm,采用雙項辨識,辨識出δy=-0.178mm,δgp=0.7688mm,辨識結(jié)果與第一次相差不大,可能是由辨識誤差造成的,補償辨識所得誤差的50%后再進行加工后結(jié)果如圖3(c).第3次加工所得面形的RMS值為4.1μm,采用單項辨識,辨識出δy=-0.0205mm,補償辨識所得誤差的30%后再進行加工后結(jié)果如圖3(d).第4次加工所得面形的RMS值為2.0μm,面形的PV值為8μm.
通過三次補償加工面形的RMS從13.1μm降為2.0μm,鏡面拋光機效果較明顯,再補償由于機床的精度限制,效果就不會很明顯了.
綜上所述:利用基于橢圓路徑的誤差模型和最小二乘準則,建立回轉(zhuǎn)二次曲面加工的誤差辨識,反饋加工流程.具體分析了誤差傳遞函數(shù)存在相似項時分開,合并辨識的所引入的辨識誤差,并基于此分析提出了處理相似項誤差的策略.實驗證明,此辨識-反饋法和相似項處理策略能夠大大提高加工精度.
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